Як вирішити в розумі систему?

Как решить в уме систему?
У розповіді Антона Павловича Чехова «Репетитор» є один дуже хороший приклад рахунку в розумі, а точніше комбінації навичок усного рахунку і вміння рахувати на руських дерев’яних рахунках. Головний герой оповідання батько Петі Вона вирішує на рахунках математичну задачу.

Умова задачі такий:

«Купець купив 138 арш. чорного і синього сукна за 540 руб. Питається, скільки аршин купив він того й іншого, якщо синє коштувало 5 руб. за аршин, а чорне 3 руб.?»

Подумайте, як можна вирішити цю задачу в розумі?

Як вчать у школі

Традиційний шкільний підхід пропонує нам скласти систему з двох рівнянь, що включає дві змінних:

  • 5х + 3у = 540
  • х + у = 138

Щоб вирішити цю систему доведеться здійснити ряд дій, щодо приведення рівнянь до зручному увазі, щоб залишилася тільки одна змінна. Порахувати в розумі цим методом досить складно, але можливо. Відповідь задачі: 75 арш. чорного сукна і 63 арш. – синього.

Як рахувати в умі

У розумі набагато ефективніше вирішувати цю задачу іншим способом. Для початку потрібно дізнатися, скільки грошей витратив би купець, якщо б придбав 138 аршин тільки одного виду сукна. Припустимо, купець вирішив би придбати тільки дешеве чорне сукно по 3 карбованці за аршин. Вартість покупки склала б 138*3 = 414. В реальності ж він витратив 540 рублів, що на 126 більше, ніж 414. Так як 126 рублів складають економію, а різниця між цінами чорного і синього сукна дорівнює 2 рубля, то купець придбав 126:2=63 аршин синього сукна. А чорного сукна він придбав: 138 – 63 = 75 аршин. От і все.

Алгоритм розв’язання такий: (540 – 138*3) : (5-3) = 126 : 2 = 63 — аршин синього сукна

Також можна виходити і з того, що купець спочатку міг придбати тільки синє сукно, в цьому випадку алгоритм рішення точно такий же: (540 – 138*5) : (5-3) = 150 : 3 = 75 — аршин чорного сукна

Саме цей спосіб, швидше за все, був застосований Удодовым, коли «у кілька кліків» на рахунках він вирішив цю задачу. Цей алгоритм є не зовсім очевидним для сучасної людини, навченого розв’язувати системи, «ікси» і «угреки». Але уявіть, який спосіб був би більш очевидним для російського купця 19-го століття? Саме той, який дозволив би вирішити завдання в розумі.