Послідовності Рачинського для рахунку в розумі

Последовательности Рачинского для счета в уме

Для вирішення знаменитої задачі Рачинського можна також використовувати і додаткові знання про закономірності суми квадратів. Мова йде саме про ті суми, які називаються послідовностями Рачинського. Так математично можна довести, що такі суми квадратів дорівнюють:

  • 32+42 = 52 (обидві суми дорівнюють 25)
  • 102+112+122 = 132+142 (сума дорівнює 365)
  • 212+222+232+242 = 252+262+272 (що становить 2030)
  • 362+372+382+392+402 = 412+422+432+442 (що дорівнює 7230)

Щоб знайти будь-яку іншу послідовність Рачинського, достатньо просто скласти рівняння наступного виду (зверніть увагу, що завжди в такій послідовності праворуч кількість підсумовуючих квадратів на один менше, ніж зліва):

n2 + (n+1)2 =
(n+2)2

Це рівняння зводиться до квадратного рівняння і легко вирішується. В даному випадку «n» дорівнює 3, що відповідає першій послідовності Рачинського, описаної вище (32+42 = 52).

Таким чином, рішення знаменитого прикладу Рачинського, можна зробити в розумі ще швидше, ніж описано в цій статті, просто знаючи другу послідовність Рачинського, а саме:

102+112+122+132+142 = 365 + 365

В результаті рівняння з картини Богдана-Бельського приймає вигляд (365 + 365)/365, що, безсумнівно, дорівнює двом.

Також послідовність Рачинського може стати в нагоді і для вирішення інших завдань зі збірника «1001 завдання для розумового рахунку» Сергія Рачинського.